Carla Bohndick

Wenn Sie untersuchen wollen, ob Zusammenhänge zwischen zwei Variablen bestehen, berechnen Sie die Korrelation. Zunächst ist dies eine deskriptive Fragestellung. Sie können die verschiedenen Zusammenhangsmaße aber auch inferenzstatistisch absichern. In diesem Kapitel wird verdeutlicht, was unter einer Korrelation verstanden wird. Außerdem werden Interpretationsprobleme dargestellt.

Die am häufigsten verwendete Möglichkeit, Zusammenhänge zwischen zwei Variablen zu berechnen, ist die Produkt-Moment-Korrelation. Um diese zu berechnen, müssen beide Variablen mindestens intervallskaliert sein. Im Folgenden berechnen wir die Korrelation zwischen dem Alter und der Motivation, genauer der Variable Mot 1 aus diesem Beitrag.

Zunächst müssen Sie die Kovarianz berechnen, die Formel dafür lautet:

Wenn Sie diese Formel genauer betrachten, fällt Ihnen sicherlich die Ähnlichkeit zu der in diesem Beitrag vorgestellten Varianz auf. Die Varianz ist nämlich lediglich die Kovarianz einer Variablen mit sich selber, also statt y würden Sie hier x einsetzen und so käme das Quadrat ins Spiel. Für unser Beispiel lässt sich also folgende Kovarianz berechnen:

Sei x = Alter und somit y= Mot1. Zuerst berechnen wir die Mittelwerte der Variablen x und y:

Nun können wir die Kovarianz berechnen:

Wir erhalten für unser Beispiel also eine Kovarianz von ca. 0,1776. Grundsätzlich kann die Kovarianz beliebig große Werte annehmen. Positive Werte sprechen dabei für einen positiven Zusammenhang zwischen den beiden Variablen und negative Werte für einen negativen Zusammenhang. Für unser Beispiel heißt das also, dass ein positiver Zusammenhang besteht.

Besser als die Kovarianz lässt sich die Korrelation (r) interpretieren. Für die Korrelation wird die Kovarianz anhand der Standardabweichungen (vgl. hier) der beiden Variablen standardisiert:

Zur Erinnerung: Die Standardabweichung ist gleich der Wurzel der Varianz.

Die Berechnung für unser Beispiel sieht also wie folgt aus:

Somit können wir r wie folgt berechnen:

Der Korrelationskoeffizient r kann Werte von -1 bis 1 annehmen. Bei -1 liegt ein perfekt negativer Zusammenhang vor, bei 0 liegt kein (linearer) Zusammenhang vor und bei 1 liegt ein perfekt positiver Zusammenhang vor. Welche Korrelationen als groß und welche Korrelationen als klein bezeichnet werden, lässt sich nicht abschließend bestimmen. Einige Autoren sehen Korrelationen ab 0.5 als groß, Korrelationen um 0.3 als moderat und Korrelationen um 0.1 als klein (Cohen, 1988), andere hingegen sehen Korrelationen bis 0.5 als gering, 0.7 als moderat und 0.9 als hoch an (Nachtigall & Wirtz, 2004). Letztlich kommt es auf den publizierten Forschungsstand zu einer konkreten Fragestellung an, welche Werte als bedeutsam betrachtet werden. Im sozialwissenschaftlichen Bereich ist es für neue Forschungsfragen üblich, von der genannten Konvention nach Cohen auszugehen. Für unser Beispiel gehen Sie bitte davon aus, dass Werte ab 0.3 als bedeutsam angesehen werden können. Das heißt also, dass zwischen dem Alter und der Variable Mot1 ein geringer positiver Zusammenhang besteht.

Um die verschieden starken Korrelationen besser zu illustrieren, finden Sie in den Abbildungen unten Beispiele für mögliche Korrelationen. Jeder Datenpunkt kann dabei einer Versuchsperson zugeordnet werden und zeigt damit das Ergebnis für zwei verschiedene Variablen an. Dabei ist die eine Variable auf der x-Achse und die andere Variable auf der y-Achse abgetragen.

Abb. 1 Verschiedene Korrelationen, Bewertung nach Cohen (1988)

Interpretationsprobleme: Korrelation und Kausalität

Stellen Sie sich vor, Sie hätten nun die Korrelation zwischen Leseleistung und Lesemotivation errechnet. Herausgekommen wäre r = 0.5, also ein moderater Zusammenhang zwischen den beiden Variablen. Sie können nun allerdings keine Aussagen über die Richtung des Zusammenhangs treffen. Das heißt, Aussagen wie „eine höhere Leseleistung führt zu einer höheren Lesemotivation“ oder andersherum „eine höhere Lesemotivation führt zu einer höheren Leseleistung“ sind nicht zulässig. Um Wirkrichtungen festzustellen, bedarf es spezieller Designs (vgl. Kapitel zur Planung). Manchmal ist auch eine dritte Variable z Auslöser für den Zusammenhang. Hier könnte z.B. die Begeisterung der Eltern für das Lesen (z) sowohl einen Einfluss auf die Lesemotivation (x) und auf die Leseleistung (y) haben, wie auch die folgende Abbildung veranschaulicht.

Um die Problematik zu verdeutlichen, sehen Sie im Folgenden weitere Beispiele, in denen fälschlicherweise eine bestimmte Richtung des Zusammenhangs angenommen wurde. Versuchen Sie doch einmal, die Gründe zu finden, die zu dem jeweiligen Zusammenhang geführt haben.

• Je mehr Leute der Feuerwehr eingesetzt werden, desto höher ist später der Brandschaden.
• Je größer die Füße, desto größer das Gehalt.
• Gute Luft (z.B. in Kurorten) führt zu einer erhöhten Sterblichkeitsrate.

Software-Empfehlungen:

Sie können Korrelationen per Hand berechnen, aber es gibt auch Computerprogramme, die Sie bei der Berechnung unterstützen können. Dies sind beispielsweise einfache Tabellenkalkulationsprogramme wie z.B. Excel, Sie können aber auch spezielle Software wie SPSS (kostenpflichtig) oder R (Open Source und kostenfrei) nutzen.

Literatur:

Beller, S. (2008). Empirisch forschen lernen. Konzepte, Methoden, Fallbeispiele, Tipps (2., überarb. Aufl). Bern: Huber.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2. Aufl.). Hillsdale: L. Erlbaum Associates.

Krämer, W. (2009). So lügt man mit Statistik (12. Aufl.). München: Piper.

Nachtigall, C. & Wirtz, M. A. (2004). Wahrscheinlichkeitsrechnung und Inferenzstatistik (3. Aufl.). Weinheim: Juventa Verlag.

Carla Bohndick

Im Beitrag zur Deskriptiven Statistik haben Sie erfahren, wie Sie Ihre Daten beschreibend darstellen können. Häufig wollen Sie aber herausfinden, ob Ihre Daten Ihre postulierte Hypothese bestätigen (vgl. Kapitel zur Planung) Wenn Sie also beispielsweise die Hypothese aufgestellt haben, dass sich die Lesemotivation von Jungen und Mädchen unterscheidet, müssen Sie diese Hypothese prüfen.

Prüfung von Hypothesen

Das Grundprinzip zur Überprüfung ist immer ähnlich: Sie vergleichen, wie wahrscheinlich die von Ihnen gefundenen Kennwerte (z.B. Lagemaß, Streuungsmaß, Zusammenhangsmaß) sind, wenn man eine theoretisch angenommene Verteilung der Kennwerte zugrunde legt, mit einem per Konvention festgelegten Wahrscheinlichkeitswert (siehe unten „Signifikanz“). Diese zugrunde gelegte theoretische Verteilung wird als H0 (sprich: H-null) oder Nullhypothese bezeichnet, weil die Wahrscheinlichkeit für die gefundenen Kennwerte unter der Annahme berechnet wird, dass es null Unterschied zwischen den verglichenen Gruppen bzw. null Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen gibt. Die Annahmen, dass es dementgegen doch Unterschiede bzw. Zusammenhänge gibt, werden zusammenfassend als Alternativhypothese bzw. H1 bezeichnet.

Neben der Unterscheidung zwischen H0 bzw. H1 und Unterschieds- bzw. Zusammenhangshypothese wird auch noch nach ungerichteten bzw. gerichteten Hypothesen differenziert. Eine Hypothese ist ungerichtet, wenn die Alternativhypothesen sowohl positive als auch negative Abweichungen von der Nullannahme umfassen. Bei gerichteten Hypothesen ist festgelegt, dass nur Abweichungen in eine Richtung gegen die Nullhypothese sprechen, Abweichungen in die andere Richtung aber als für die Nullhypothese sprechend interpretiert werden (beispielsweise, weil sowohl Nullunterschiede als auch Abweichungen in die unerwartete Richtung gegen die inhaltlichen Forschungsannahmen sprechen).

Beispiele:

	H1	H0
Unterschiedshypothese ungerichtet	Es gibt einen Unterschied in der Lesemotivation von Jungen und Mädchen.	Es gibt keinen Unterschied in der Lesemotivation von Jungen und Mädchen.
Unterschiedshypothese gerichtet	Die Lesemotivation von Jungen ist höher als die von Mädchen.	Die Lesemotivation von Jungen ist kleiner oder gleich der Lesemotivation von Mädchen.
Zusammenhangshypothese ungerichtet	Die Lesemotivation hängt mit dem Alter der Schülerinnen und Schüler zusammen.	Die Lesemotivation hängt nicht mit dem Alter der Schülerinnen und Schüler zusammen.
Zusammenhangshypothese gerichtet	Die Lesemotivation steigt mit höherem Alter der Schülerinnen und Schüler.	Die Lesemotivation sinkt mit höherem Alter der Schülerinnen und Schüler oder bleibt gleich.

 Signifikanz

Im nächsten Schritt testen Sie, ob es Evidenz gegen – also Zweifel an der – Nullhypothese gibt. Die Logik dahinter ist, dass Sie es sich besonders schwer machen und die H0 so lange beibehalten, bis Sie sehr viel Evidenz gegen die H0 haben. Dies nennt sich Signifikanzprüfung. Dafür legen Sie ein Signifikanzniveau α fest (nach Konvention meist 5% oder 1%). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist. Wenn die errechnete Wahrscheinlichkeit kleiner ist als das vorher festgelegte Signifikanzniveau, heißt dies, dass Ihre Nullhypothese mit den Werten, die Sie erhoben haben, praktisch nicht vereinbar ist. Sie können H0 also verwerfen und die H1 akzeptieren.

Beispiel:

• Sie wollen die Hypothese überprüfen, dass es einen Unterschied in der Lesemotivation von Jungen und Mädchen gibt.
• Dafür stellen Sie die Nullhypothese „Es gibt keinen Unterschied zwischen Mädchen und Jungen“ auf.
• Das Signifikanzniveau legen Sie mit 5% (α = 0,05) fest.
• Durch einen passenden Signifikanztest (z.B. den unten vorgestellten t-Test) erhalten Sie eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, mit der Ihre Daten auftreten würden, wenn man die Nullhypothese annimmt, wenn es also keinen Unterschied zwischen Jungen und Mädchen gäbe.
• Ein Wert von 5,1% (p = 0,051) würde also dafür sprechen, die Nullhypothese beizubehalten, da diese nicht abgelehnt werden kann bzw. es nicht genug Evidenz gegen diese gibt.
• Demgegenüber würde ein Wert von 4,9% (p = 0,049) dafür sprechen, die Nullhypothese zu verwerfen. Sie könnten also feststellen, dass der Unterschied zwischen Mädchen und Jungen auf dem 5%-Niveau signifikant ist.

Verfahren zur Prüfung der Signifikanz bei Unterschiedshypothesen: Beispiel t-Test

Ein häufig angewandtes Verfahren, um Unterschiedshypothesen zu überprüfen, ist der t-Test. Dieser kann (leicht abgewandelt) für verschiedene Fragen verwendet werden:

• Unterscheidet sich der Mittelwert der Stichprobe zu einem Messzeitpunkt von dem Mittelwert derselben Stichprobe zu einem anderen Messzeitpunkt (Messwiederholung)? Sie könnte beispielsweise interessieren, ob sich die Leistung der Schülerinnen und Schüler vom Anfang bis zum Ende des Schuljahres verbessert hat.
• Unterscheidet sich der Mittelwert einer Stichprobe von dem Mittelwert einer anderen Stichprobe? Diese Frage ist beispielsweise dann interessant, wenn wie oben zwei Gruppen wie Mädchen oder Jungen oder Kinder der vierten Klasse und Kinder der fünften Klasse verglichen werden sollen.
• Unterscheidet sich der Mittelwert der Stichprobe von einem bestimmten gesetzten Wert? Diese Frage ist beispielsweise dann interessant, wenn Sie einen festgesetzten Wert haben und zum Beispiel untersuchen wollen, ob sich die maximale Konzentrationsfähigkeit von Schülerinnen und Schülern signifikant von einer Schulstunde von 45 Minuten unterscheidet.

Das Prinzip hinter dem t-Test ist wie folgt: Aus den Mittelwerten und der Standardabweichung (also statistischen Kennwerten) wird ein Wert (der Testwert) berechnet. Dieser Wert wird anschließend mit einer Verteilung verglichen.

Bei unserem Beispiel handelt es sich um zwei unabhängige Stichproben, also die Stichprobe der Jungen und die Stichprobe der Mädchen. Für den Fall, dass Sie gleich viele Mädchen wie Jungen befragt haben, die Stichproben also gleich groß sind, lautet die Formel wie folgt:

Im Zähler steht die Differenz der Mittelwerte. In unserem Beispiel wäre das also der Mittelwert der Lesemotivation der Jungen, der von dem Mittelwert der Lesemotivation der Mädchen abgezogen wird. Um den Nenner zu berechnen, brauchen Sie die Gesamtstichprobengröße n sowie die Varianz s² beider Gruppen. Wie Sie diese berechnen, können Sie hier nachlesen. Das Ergebnis ist Ihr Testwert t, den Sie nun mit dem kritischen t-Wert vergleichen. Dieser kritische t-Wert wird berechnet, indem die H0, dass es keine Unterschiede zwischen den Gruppen gibt, zugrunde gelegt wird. Wenn Sie einen empirischen t-Wert aus Ihren Daten berechnet haben, der extremer ist als der kritische t-Wert, dann bedeutet dies, dass Ihre gefundenen Daten sehr schlecht zu der Annahme passen, dass es keine Unterschiede gibt. Sie lehnen deswegen in diesem Fall die H0 ab. Um den kritischen t-Wert herauszufinden, können Sie Verteilungsfunktionen heranziehen, die in Statistiklehrbüchern in Tabellenform abgedruckt sind. Diese Aufgabe übernimmt Ihre Statistiksoftware (s. Softwareempfehlungen) aber auch für Sie. Wichtig ist in beiden Fällen, dass Sie beachten, ob Ihre Forschungshypothese gerichtet oder ungerichtet ist. Zu gerichteten Hypothesen gehören einseitige Testungen bzw. die unmittelbar ablesbaren Signifikanz-Grenzen und zu ungerichteten Hypothesen zweiseitige Testungen bzw. die halbierten tabellierten Signifikanz-Grenzen (sofern die Tabellen für einseitige Testungen ausgelegt sind).

Voraussetzung für den t-Test ist, dass das Merkmal normalverteilt oder Ihre Stichprobe groß genug ist. Falls dies bei Ihnen nicht der Fall ist, stehen Ihnen nonparametrische Verfahren zur Verfügung, die nach ähnlichen Prinzipien funktionieren. Auch für weitere Fragestellungen, wie klassische Evaluationsdesigns (vgl. Planung von Studien), existieren passende Methoden, wie z.B. die Varianzanalyse mit Messwiederholung. Auch Zusammenhangshypothesen werden nach demselben Verfahren (statistischen Kennwerte – Testwerte – Vergleich mit Verteilung) geprüft.

Effektstärke

Die Signifikanz ist u.a. von der Stichprobengröße abhängig, bei sehr großen Stichproben werden auch kleinste Effekte signifikant, bei sehr kleinen Stichproben auch große nicht. Deshalb ist es sinnvoll, wenn Sie zusätzlich zur Signifikanz auch Effektstärken berichten. Darunter können standardisierte Kennwerte verstanden werden, die beispielsweise Aussagen über die Relevanz von Mittelwertunterschieden machen.  Durch die Standardisierung ist es möglich, Ergebnisse verschiedener Studien zu vergleichen und zusammen zu fassen.

Ein Beispiel dafür ist Cohens d, eine Effektgröße für Mittelwertunterschiede. Wenn die beiden Gruppen, die Sie vergleichen, dieselbe Gruppengröße n haben, wird der Wert mit folgender Rechnung geschätzt:

Ähnlich wie bei der Formel zur Berechnung des t-Wertes steht dabei im Zähler wieder die Differenz der Mittelwerte, im Nenner stehen die Varianzen. Der Unterschied ist, dass hier nicht durch die Stichprobe geteilt wird (s.o.). Ihr Ergebnis können Sie folgendermaßen interpretieren: kleiner Effekt: d = 0,2; mittlerer Effekt: d = 0,5; großer Effekt: d = 0,8 (Cohen, 1988).

Eine Effektstärke für Zusammenhangshypothesen ist r und wird im Kapitel Zusammenhangsmaße eingeführt.

Softwareempfehlungen:

Zur Prüfung von Hypothesen bietet sich die Nutzung spezieller Statistiksoftware wie SPSS (kostenpflichtig) oder R (kostenfrei) an. Effektstärken werden häufig nicht angegeben. Diese können Sie sich aber einfach mit Tabellenkalkulationsprogrammen programmieren oder mit dem Taschenrechner per Hand ausrechnen.

Literaturempfehlungen:

Beller, S. (2008). Empirisch forschen lernen. Konzepte, Methoden, Fallbeispiele, Tipps (2., überarb. Aufl). Bern: Huber.

Bortz, J. & Döring, N. (2006). Forschungsmethoden und Evaluation. Für Human- und Sozialwissenschaftler (4. Aufl.). Heidelberg: Springer.

Bortz, J. & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Berlin: Springer.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2. Aufl.). Hillsdale: L. Erlbaum Associates.